Question

16．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數，α∈[0，π））．以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=4sinθ．
（Ⅰ）設M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于兩點A，B，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4sinθ=0，可得ρ²sin²θ=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程，再根據二次函數的性質即可求出x+y的范圍，
（Ⅱ）由直線l的參數方程，消去參數t可得普通方程，直線方程與拋物線方程聯立化為：x²-4xtanα-4=0，利用根與系數的關系及其弦長公式即可求出

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=4sinθ，
可得ρ²sin²θ=4ρsinθ=0，可得直角坐標方程：x²=4y．
∴x+y=x+$\frac{1}{4}$x²=$\frac{1}{4}$（x+2）²-1≥-1，
故x+y的取值范圍為[-1，+∞）
（Ⅱ）直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數）消掉參數t，得到y-1=xtanα，
代入到x²=4y，x²-4xtanα-4=0，
∴x₁+x₂=4tanα，x₁x₂=-4
∴|AB|=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$•4•$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$=4（1+tan²α）≥4．當且僅當α=0取等號，
故|AB|的最小值為4．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程的方法、參數方程及其應用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．