Question

7．（1）解不等式|2x+1|-|x-4|＞2；
（2）已知：a＞0，b＞0，求證：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$．

Answer 1

分析 （1）對x的范圍進行討論，去絕對值符號解出；
（2）使用作差法證明．

解答 （1）解：①若x≤-$\frac{1}{2}$，則不等式為-2x-1-（4-x）＞2，解得x＜-7，
②若-$\frac{1}{2}$＜x≤4，則不等式為2x+1-（4-x）＞2，解得$\frac{5}{3}$＜x≤4，
③若x＞4，則不等式為2x+1-（x-4）＞2，解得x＞4，
綜上，原不等式的解集為 {x|x＜-7或x＞$\frac{5}{3}$}．
（2）證明：∵a＞0，b＞0
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}$=$\frac{{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{{（a-b）\sqrt{a}+（b-a）\sqrt{b}}}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}}{{\sqrt{ab}}}≥0$．
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$．

點評 本題考查了含絕對值不等式的解法，不等式的證明，屬于中檔題．