Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$|{\overrightarrow b}|=4$，且（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角是（　�。�

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，θ∈[0，π]，依題意，由（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=0，可求得cosθ=-$\frac{1}{2}$，從而可得答案．

解答 解：設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，θ∈[0，π]．
∵$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$|{\overrightarrow b}|=4$，且（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即${\overrightarrow{a}}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cosθ=0，即4+2×4cosθ=0，
∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查平面向量的數量積的運算，由（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=0，求得cosθ=-$\frac{1}{2}$是關鍵，考查理解與運算能力，屬于中檔題．