Question

6．關于曲線C：x²+y⁴=1，給出下列四個命題：
①曲線C有兩條對稱軸，一個對稱中心；  
②曲線C上的點到原點距離的最小值為$\frac{1}{2}$；
③曲線C的長度l滿足l＞4$\sqrt{2}$；     
④曲線C所圍成圖形的面積S滿足π＜S＜4．
上述命題中，則真命題的個數有3個．

Answer 1

分析 由曲線C的方程可得x²+y²≥1，|x|≤1，|y|≤1，從而可得出曲線C的大體范圍，結合圖形推導結論．

解答 解：設P（x，y）是曲線上一點，則P關于x軸的對稱點（x，-y）顯然也在曲線C上，
∴曲線C關于x軸對稱，
同理可得曲線C關于y軸對稱，關于原點對稱，故①正確；
∵x²=1-y⁴=（1-y²）•（1+y²）≥（1-y²），∴x²+y²≥1，即$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$≥1．
∴曲線上任意一點到原點的距離最小值為1，（當且僅當y=0時，x等于1）
故②錯誤；
由②可得，曲線C所上的點在單位圓x²+y²=1的外部或圓上，∴S＞π，
由x²+y⁴=1可得|x|≤1，|y|≤1，（不能同時取1）
∴曲線C上的點在以2為邊長的正方形ABCD內部或邊上，∴S＜4，
故④正確；
設曲線C的上頂點為M，右頂點為N，則MN=$\sqrt{2}$，
由兩點之間線段最短可知曲線C在第一象限內的長度大于$\sqrt{2}$，
同理曲線C在每一象限內的長都大于$\sqrt{2}$，故l＞4$\sqrt{2}$，故③正確．
故答案為：3．

點評 本題考查曲線的性質，命題的真假判斷，注意運用不等式的性質和數形結合的思想方法，考查推理能力和判斷能力，屬于中檔題．