Question

20．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點，F為CD₁中點．
（1）求證：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）AB=2，求三棱錐D₁-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取DD₁中點M，連接MA，MF，推導出AEFM是平行四邊形，從而EF∥AM，由此能證明EF∥平面ADD₁A₁．
（2）三棱錐D₁-DEF的體積${V_{{D_1}-DEF}}={V_{E-{D_1}DF$．由此能求出結果．

解答 證明：（1）取DD₁中點M，連接MA，MF，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點，F為CD₁中點．
∴$MF\underline{\underline∥}AE\underline{\underline∥}\frac{1}{2}DC$，
∴AEFM是平行四邊形，∴EF∥AM，
又AM?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
∴EF∥平面ADD₁A₁．
解：（2）∵AB=2，
∴三棱錐D₁-DEF的體積：
${V_{{D_1}-DEF}}={V_{E-{D_1}DF}}=\frac{1}{3}{S_{△{D_1}DF}}×2=\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．