Question

11．對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同構造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法．利用這種方法，結合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式．
例如：考察恒等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ（n∈N^*），左邊xⁿ的系數為C_2nⁿ，而右邊（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ=（C_n⁰+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ）（C_n⁰+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ），xⁿ的系數為C_n⁰C_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+…+C_nⁿC_n⁰=（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²，因此可得到組合恒等式C_2nⁿ=（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²．
（1）根據恒等式（1+x）^m+n=（1+x）^m（1+x）ⁿ（m，n∈N^*）兩邊x^k（其中k∈N，k≤m，k≤n）的系數相同，直接寫出一個恒等式；
（2）利用算兩次的思想方法或其他方法證明：$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$^k=C_2nⁿ，其中$[{\frac{n}{2}}]$是指不超過$\frac{n}{2}$的最大整數．

Answer 1

分析 （1）利用二項式定理系數的性質，求出xⁿ的系數，即可得到結論．
（2）利用已知關系式，求出等式兩邊的常數項系數，即可得到結果．

解答 解：（1）${C}_{m+n}^{k}$=${{C}_{m}^{0}C}_{n}^{k}$+${{C}_{m}^{1}C}_{n}^{k-1}$+…+${{C}_{m}^{k}C}_{n}^{0}$=${C}_{m+m}^{k}$．
證明：（2）考察等式（2+x+$\frac{1}{x}$）ⁿ=$\frac{（x+1）^{2n}}{{x}^{n}}$，
等式右邊的常數項為：$\frac{{C}_{2n}^{n}{x}^{n}}{{x}^{n}}{=C}_{2n}^{n}$，
∵$（2+x+\frac{1}{x}）^{n}={\sum_{i=0}^{n}C}_{n}^{r}$•2^n-r（x+$\frac{1}{x}$）^r=${\sum_{i=0}^{n}C}_{n}^{r}$•2^n-r（${\sum_{i=0}^{r}C}_{i}^{k}$$•{x}^{i-k}（\frac{1}{x}）^{k}）$，
當且僅當i=2k時，x^r-k（$\frac{1}{x}$）^k為常數，
等式左邊的常數項為：$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$^k，
∴$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$^k=C_nⁿ成立．

點評 本題主要考查二項式定理等基礎知識，考查推理論證能力，屬于中檔題．