Question

8．某化工廠每一天中污水污染指數f（x）與時刻x（時）的函數關系為f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a為污水治理調節參數，且a∈（0，1）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求一天中哪個時刻污水污染指數最低；
（2）規定每天中f（x）的最大值作為當天的污水污染指數，要使該廠每天的污水污染指數不超過3，則調節參數a應控制在什么范圍內？

Answer 1

分析 （1）通過$a=\frac{1}{2}$，化簡$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$，求出x=4．得到一天中早上4點該廠的污水污染指數最低．
（2）設t=log₂₅（x+1），設g（t）=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]，得到$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+3a+1，0≤t≤a\\ t+a+1，a＜t≤1\end{array}\right.$，利用分段函數，函數的單調性最值求解即可．

解答 解：（1）因為$a=\frac{1}{2}$，則$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$．…（2分）
當f（x）=2時，${log_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}=0$，得$x+1={25^{\frac{1}{2}}}=5$，
即x=4．所以一天中早上4點該廠的污水污染指數最低．…（4分）
（2）設t=log₂₅（x+1），則當0≤x≤24時，0≤t≤1．
設g（t）=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]，
則$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+3a+1，0≤t≤a\\ t+a+1，a＜t≤1\end{array}\right.$，…（7分）
顯然g（t）在[0，a]上是減函數，在[a，1]上是增函數，
則f（x）_max=max{g（0），g（1）}，…（9分）
因為g（0）=3a+1，g（1）=a+2，
則有 $\left\{{\begin{array}{l}{g（0）=3a+1≤3}\\{g（1）=a+2≤3}\end{array}}\right.$，解得$a≤\frac{2}{3}$，…（11分）
又a∈（0，1），故調節參數a應控制在$（0，\frac{2}{3}]$內．…（12分）

點評 本題考查函數的實際應用，分段函數的應用，考查函數的單調性以及函數的最值的求法，考查計算能力．