Question

11．如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面BCC₁B₁⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形BCC₁B₁為等腰梯形，BC=4，B₁C₁=C₁C=2，AB=5，AC⊥BC．
（1）求證：BC₁⊥平面ACC₁；
（2）求直線BC₁與平面ADD₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）在BCC₁B₁內過點C₁作C₁M⊥BC于點M，證明BC₁⊥CC₁，AC⊥BC₁，即可證明BC₁⊥平面ACC₁；
（2）求出平面ADD₁A₁的法向量，即可求直線BC₁與平面ADD₁A₁所成的角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖，在BCC₁B₁內過點C₁作C₁M⊥BC于點M，
因為四邊形CC₁B₁為等腰梯形，BC=4，B₁C₁=C₁C=2，所以MC=1，MB=3，
在Rt△C₁MC中，知MC₁=$\sqrt{3}$，所以BC₁=2$\sqrt{3}$，
可得BC₁⊥CC₁，
又因AC⊥BC，平面BCC₁B₁⊥平面ABCD，
平面BCC₁B₁∩平面ABCD=BC，所以AC⊥平面BCC₁B₁，
因為BC₁?平面BCC₁B₁，所以AC⊥BC₁，
又因AC∩CC₁=C，
所以BC₁⊥平面ACC₁．
（2）解：延長BB₁，CC₁，AA₁，DD₁知相交于一點，記該點為P，取BC中點O，
在四棱臺中，PO⊥BC，
又因平面BCC₁B₁⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
取AB中點N，知ON∥AC，且ON⊥BC，所以以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，則A（3，-2，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），P（0，0，2$\sqrt{3}$），${C}_{1}（0，-1，\sqrt{3}）$，
所以$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-3，$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{PA}$=（3，-2，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$=（0，-4，0）．
設平面ADD₁A₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y-2\sqrt{3}z=0}\\{-4y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$）
所以cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，故直線BC₁與平面ADD₁A₁所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．