Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|3x-$\frac{3}{4}$|．
（1）求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若實數(shù)a，b，c滿足a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c=$\frac{3}{2}$．求證：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）由f（x）＜1，得|x-1|+|3x-$\frac{3}{4}$|＜1可化為：
$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{4}}\\{\frac{7}{4}-4x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}＜x＜1}\\{2x+\frac{1}{4}＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{4x-\frac{7}{4}＜1}\end{array}\right.$，
得$\frac{3}{16}$＜x＜$\frac{3}{8}$，
所以f（x）＜1的解集為：{x|$\frac{3}{16}$＜x＜$\frac{3}{8}$}；
（2）因為a+b+c=$\frac{3}{2}$，
所以：$\frac{{b}^{2}}{a}$+a+$\frac{{c}^{2}}{b}$+b+$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2（a+b+c）=3，
所以：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．