Question

5．若點（x，y）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上，則3x²-2xy的最小值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的標準方程可知：則x=2secα，y=tanα，由3x²-2xy=12sec²α-4secαtanα=$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$，由-1＜sinα＜1，1-sinα＞0，1+sinα＞0，由基本不等式的性質可知∴[（1-sinα）+（1+sinα）]•（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$）≥12+2$\sqrt{\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}×\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}}$=12+8$\sqrt{2}$，則$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$≥6+4$\sqrt{2}$，即可求得3x²-2xy的最小值．

解答 解：由線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，設x=2secα，y=tanα，
3x²-2xy=12sec²α-4secαtanα，
=$\frac{12}{co{s}^{2}α}$-$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，
=$\frac{12-4sinα}{co{s}^{2}α}$
=$\frac{12-4sinα}{1-si{n}^{2}α}$，
=$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$
∵-1＜sinα＜1，
1-sinα＞0，1+sinα＞0
∴[（1-sinα）+（1+sinα）]•（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$），
=12+$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$+$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$≥12+2$\sqrt{\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}×\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}}$=12+8$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$=$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$等號成立，
解得：sinα=3-2$\sqrt{2}$（3+2$\sqrt{2}$舍去）時，取得最小值，
∵[（1-sinα）+（1+sinα）]•（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$）=2（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$），
$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$≥6+4$\sqrt{2}$，
∴3x²-2xy的最小值是6+4$\sqrt{2}$，
故答案為：6+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的參數方程，三角恒等變換，基本不等式性質的綜合應用，考查計算能力，屬于難題．