Question

17．已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[2，4]上的最大值為9，最小值為1，記f（x）=g（|x|）．
（1）求實數a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）g（x）在區間[2，4]上是增函數，故$\left\{\begin{array}{l}g（2）=1\\ g（4）=9\end{array}$解得：實數a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，則log₂k＞2或log₂k＜-2．解得實數k的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
因為a＞0，
所以g（x）在區間[2，4]上是增函數，
故$\left\{\begin{array}{l}g（2）=1\\ g（4）=9\end{array}$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0.\end{array}$…（6分）
（2）由已知可得f（x）=g（|x|）=x²-2|x|+1為偶函數．
所以不等式 f（log₂k）＞f（2）可化為   log₂k＞2或log₂k＜-2．
解得k＞4或0＜k＜$\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．