Question

6．已知函數f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數，若對任意x∈（0，+∞），都有$f[f（x）-\frac{1}{x}]=2$，則$f（\frac{1}{7}）$的值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 若對任意x∈（0，+∞），都有$f[f（x）-\frac{1}{x}]=2$，則$f（x）-\frac{1}{x}$為定值，令$f（x）-\frac{1}{x}$=k，則f（x）=$\frac{1}{x}$+k，f（k）=$\frac{1}{k}$+k=2，求出函數的解析式，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數，
若對任意x∈（0，+∞），都有$f[f（x）-\frac{1}{x}]=2$，
則$f（x）-\frac{1}{x}$為定值，
令$f（x）-\frac{1}{x}$=k，則f（x）=$\frac{1}{x}$+k，
且f（k）=$\frac{1}{k}$+k=2，
解得：k=1，
則f（x）=$\frac{1}{x}$+1，
∴$f（\frac{1}{7}）$=8，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數求值，函數的解析式，難度中檔．