Question

17．如圖，某市在海島A上建了一水產養殖中心．在海岸線l上有相距70公里的B、C兩個小鎮，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B鎮在養殖中心工作的員工有3百人，C鎮在養殖中心工作的員工有5百人．現欲在BC之間建一個碼頭D，運送來自兩鎮的員工到養殖中心工作，又知水路運輸與陸路運輸每百人每公里運輸成本之比為1：2．
（1）求sin∠ABC的大小；
（2）設∠ADB=θ，試確定θ的大小，使得運輸總成本最少．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；
（2）確定函數解析式，利用導數方法求最值．

解答 解：（1）在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{900+4900-6400}{2×30×70}$=-$\frac{1}{7}$ …（3分）
所以sin∠ABC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．…（5分）
（2）在△ABD中，由$\frac{30}{sinθ}=\frac{AD}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}=\frac{BD}{-\frac{1}{7}sinθ+\frac{4\sqrt{3}}{7}cosθ}$得：
AD=$\frac{120\sqrt{3}}{7sinθ}$，BD=$\frac{120\sqrt{3}cosθ}{7sinθ}$-$\frac{30}{7}$       …（9分）
設水路運輸的每百人每公里的費用為k元，陸路運輸的每百人每公里的費用為2k元，
則運輸總費用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35+$\frac{6}{7}$+$\frac{24\sqrt{3}}{7}$-$\frac{2-cosθ}{sinθ}$）    …（11分）
令H（θ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，則H′（θ）=$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
當0＜θ＜$\frac{π}{3}$時，H′（θ）＜0，H（θ）單調減；當$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$時，H′（θ）＞0，H（θ）單調增
∴θ=$\frac{π}{3}$時，H（θ）取最小值，同時y也取得最小值．               …（14分）
此時BD=$\frac{90}{7}$，滿足0＜$\frac{90}{7}$＜70，所以點D落在BC之間
所以θ=$\frac{π}{3}$時，運輸總成本最小．
答：θ=$\frac{π}{3}$時，運輸總成本最小．                                …（16分）

點評 本題考查導數知識的運用，考查余弦定理，屬于中檔題．