Question

8．已知數列{a_n} 為等比數列，等差數列{b_n} 的前n 項和為S_n （n∈N^* ），且滿足：S₁₃=208，S₉-S₇=41，a₁=b₂，a₃=b₃．
（1）求數列{a_n}，{b_n} 的通項公式；
（2）設T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n （n∈N^* ），求T_n； 
（3）設c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數}\\{_{n}，n為偶數}\end{array}\right.$，問是否存在正整數m，使得c_m•c_m+1•c_m+2+8=3（c_m+c_m+1+c_m+2）．

Answer 1

分析 （1）根據等差數列的前n項公式和S₉-S₇=41，即可求出a_n．再利用a₁=b₂，a₃=b₃，可知公比，進而可得{b_n} 的通項公式；
（2）通過錯位相減法即可求出前n項和，
（3）分類討論，計算即得結論．

解答 解：（1）等差數列{b_n} 的前n 項和為S_n （n∈N^* ），且滿足：S₁₃=208，S₉-S₇=41，
即$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{13}=13_{7}=208}\\{{S}_{9}-{S}_{7}=_{9}+_{8}=41}\end{array}\right.$
解得b₇=16，公差為3
∴b₁=-2，b_n=3n-5，
∵a₁=b₂=1，a₃=b₃=4，數列{a_n} 為等比數列，
∴a_n=2^n-1，n∈N*
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=-2×1+1×2+…+（3n-5）2^n-1，①
∴2T_n=-2×2+1×2²+…+（3n-5）2ⁿ，②
②-①得T_n=-2+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-5）2ⁿ=3×（2ⁿ-2）-（3n-5）2ⁿ=（8-3n）2ⁿ-8，
∴T_n=（3n-8）2ⁿ+8，n∈N^*
（3）∵設c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n為奇數}\\{3n-5，n為偶數}\end{array}\right.$，
當m=1時，c₁•c₂•c₃+8=1×1×4+8=12，3（c₁+c₂+c₃）=18，不相等，
當m=2時，c₂•c₃•c₄+8=1×4×7+8=36，3（c₂+c₃+c₄）=36，成立，
當m≥3且為奇數時，c_m，c_m+2為偶數，c_m+1為奇數，
∴c_m•c_m+1•c_m+2+8為偶數，3（c_m+c_m+1+c_m+2）為奇數，不成立，
當m≥4且為偶數時，若c_m•c_m+1•c_m+2+8=3（c_m+c_m+1+c_m+2），
則（3m-5）•2^m•（3m+1）+8=3（3m-5+2^m+3m+1），
即（9m²-12m-8）2^m=18m-20，（*）
∵（9m²-12m-8）2^m≥（9m²-12m-8）2⁴＞18m-20，
∴（*）不成立，
綜上所述m=2．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．