Question

18．設f（x）=-x²-2x+1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}（x＞0）\\ 3-（\frac{1}{2}）^x（x≤0）\end{array}$，若函數y=g（f（x））-a恰有四個不同的零點，則a的取值范圍是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． （2，$\frac{5}{2}$）
• D． [2，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 由題，y=g（f（x））的圖象與y=a的圖象有四個不同的交點，由于復合函數圖象不容易作圖，則用換元法將復合函數分解為兩個函數．令t=f（x），則y=g（t），由y=g（t）與y=a的交點個數，確定t的值及個數，再根據t的值確定t=f（x）的根x的個數，即為函數y=g（f（x））的零點的個數．

解答 解：令t=f（x）=-（x+1）²+2，t≤2，
則y=g（f（x））=g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{t}，0＜t≤2}\\{3-（\frac{1}{2}）t，t≤0}\end{array}\right.$，
由題，y=g（f（x））-a的圖象恰有四個不同的零點，
等價于關于x的方程g（f（x））=a有4個不同的根，
等價于關于t的方程g（t）=a的根使得關于x的方程t=f（x）共有四個不同的根．
∵t=2時，y=2.5；且函數y=g（t）、t=f（x）的圖象如圖所示．
∴對a分類如下：
①a=2時，t₁=1或t₂=0，
此時函數y=g（f（x））-a有四個零點，符合；
②2＜a＜2.5時，方程a=g（t）有兩個不同的根，且t₁∈（0，1）或t₂∈（1，2），
此時函數y=g（f（x））-a有四個零點，符合；
③a=2.5時，t₁=2或t₂=0.5
當t=2時，方程t=f（x）有且只有一個根，當t=0.5時，方程t=f（x）有兩個根，
故此時函數y=g（f（x））-a有三個零點，不符合；
④a＞2.5時，方程a=g（t）有且只有一個根，且t∈（0，1），
此時函數y=g（f（x））-a有兩個零點，不符合；
⑤a＜2時，方程a=g（t）有且只有一個根，且t∈（-∞，0），
此時函數y=g（f（x））-a有兩個零點，不符合；
綜上所述，當2≤a＜2.5時，函數y=g（f（x））-a有四個零點．
故選：D．

點評 考查函數零點的化歸思想和數形結合思想，復合函數用換元法轉化為兩個基礎函數，避免作復合函數的圖象，研究零點個數的方法．屬于中檔題．