Question

8．設函數f（x）=2^2x-7-a^4x-1（a＞0且a≠1）．
（1）當a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）當x∈[0，1]時，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡不等式，利用指數不等式轉化為一次不等式，求解即可．
（2）利用函數恒成立，轉化為不等式組，求解即可．

解答 解：（1）由于$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}={2^{-\frac{1}{2}}}$，于是不等式f（x）＜0即為${2^{2x-7}}＜{2^{-\frac{1}{2}（{4x-1}）}}$，…（2分）
所以$2x-7＜-\frac{1}{2}（{4x-1}）$，解得$x＜\frac{15}{8}$．…（4分）
即原不等式的解集為$（{-∞\;\;，\;\;\frac{15}{8}}）$．…（5分）
（2）由${2^{2x-7}}＜{a^{4x-1}}⇒（{2x-7}）lg2＜（{4x-1}）lga⇒x•lg\frac{4}{a^4}+lg\frac{a}{128}＜0$．…（7分）
設$f（x）=x•lg\frac{4}{a^4}+lg\frac{a}{128}$，則f（x）為一次函數或常數函數，由x∈[0，1]時，f（x）＜0恒成立得：$\left\{\begin{array}{l}f（1）＜0\\ f（0）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}lg\frac{4}{a^4}+lg\frac{a}{128}＜0\\ lg\frac{a}{128}＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}lg\frac{1}{{32{a^3}}}＜0\\ 0＜a＜128\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}32{a^3}＞1\\ 0＜a＜128\end{array}\right.⇒\frac{{\root{3}{2}}}{4}＜a＜128$，
又a＞0且a≠1，
∴$a∈（{\frac{{\root{3}{2}}}{4}\;\;，\;\;1}）∪（{1\;\;，\;\;128}）$．…（12分）

點評 本題考查函數恒成立，指數不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力．