Question

19．已知f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-2k有3個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{5}）$
• B． （$\frac{1}{5}，\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{5}，\frac{1}{3}$）
• D． [l，3]

Answer 1

分析 根據已知條件便可畫出f（x）在區間[-1，3]上的圖象，而函數g（x）的零點個數便是函數f（x）圖象和函數y=kx+2k的個數，而k便是函數y=kx+2k在y軸上的截距，所以結合圖形，討論k＞0，k＜0，k=0的情況，并求出對應的k的取值范圍即可．

解答 解：根據已知條件知函數f（x）為周期為2的周期函數；
且x∈[-1，1]時，f（x）=|x|；
而函數g（x）的零點個數便是函數f（x）和函數y=kx+2k的交點個數；
∴（1）若k＞0，則如圖所示：

當y=kx+2k經過點（1，1）時，k=$\frac{1}{3}$；
當經過點（3，1）時，k=$\frac{1}{5}$；
∴$\frac{1}{5}$＜k＜$\frac{1}{3}$；
（2）若k＜0，即函數y=kx+k在y軸上的截距小于0，顯然此時該直線與f（x）的圖象不可能有三個交點；
即這種情況不存在；
（3）若k=0，得到直線y=0，顯然與f（x）圖象只有兩個交點；
綜上得實數k的取值范圍是（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）；
故選：C．

點評 考查周期函數的概念，偶函數圖象的特點，直線在y軸上截距的概念，以及函數零點的概念，函數零點和對應函數交點的關系，以及數形結合解題的方法．