Question

14．三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩互相垂直，OC=1，OA=x，OB=y，若x+y=4，則三棱錐O-ABC的體積的最大值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知得x＞0，y＞0，x+y=4，由基本不等式，得xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=4，由此能示出三棱錐O-ABC的體積的最大值．

解答 解：∵三棱錐O-ABC中，OA=x，OB=y，x+y=4，
∴x＞0，y＞0，x+y=4，
由基本不等式，得：
xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=4，
∵OA，OB，OC兩兩互相垂直，OC=1，
∴三棱錐O-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×OA×OB×OC=\frac{1}{6}xy≤\frac{2}{3}$，
三棱錐O-ABC的體積的最大值為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．