Question

13．函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+6x-2}$的單調增區間為（3，+∞）．

Answer 1

分析 根據復合函數的單調性的判斷方法“同增異減”，求出內層函數和外層函數單調性，可得結論．

解答 解：函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+6x-2}$，
令函數t=-x²+6x-2，
根據二次函數的性質可得：開口向下，對稱軸x=3，函數t在x∈（-∞，3）上是單調遞增，（3，+∞）上是單調遞減．
那么：函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+6x-2}$變形為f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$，
由指數函數的圖象及性質可知：f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$是其定義域內的減函數．
復合函數的單調性的判斷方法“同增異減”，
可得：函數f（x）的單調增區間為：（3，+∞）；
故答案為：（3，+∞）．

點評 本題主要考查了復合函數的單調性以及單調區間的求法．對應復合函數的單調性，一要注意先確定函數的定義域，二要利用復合函數與內層函數和外層函數單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據是“同增異減”．