Question

2．已知集合A={a₁，a₂，…，a_m}．若集合A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n=A，則稱A₁，A₂，A₃，…，A_n為集合A的一種拆分，所有拆分的個數記為f（n，m）．
（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；
（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）關于n的表達式．

Answer 1

分析 （1）設A₁∪A₂={a₁}，得f（2，1）=3； 設A₁∪A₂={a₁，a₂}，得f（2，2）=9；設A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂}，由此利用分類討論思想能求出f（3，2）．
（2）猜想f（n，2）=（2ⁿ-1）²，n≥2，n∈N^*，再利用數學歸納法進行證明．

解答 解：（1）設A₁∪A₂={a₁}，共有3種，即f（2，1）=3； …（1分）
設A₁∪A₂={a₁，a₂}，若A₁=∅，則有1種；若A₁={a₁}，則有2種；
若A₁={a₂}，則有2種；若A₁={a₁，a₂}，則有4種；即f（2，2）=9； …（2分）
設A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂}，若A₁=∅，則A₂∪A₃={a₁，a₂}，所以有f（2，2）=9種；
若A₁={a₁}，則A₂∪A₃={a₁，a₂}或A₂∪A₃={a₂}，
所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A₁={a₂}，則有12種；
若A₁={a₁，a₂}，則A₂∪A₃={a₁，a₂}或A₂∪A₃={a₁}或A₂∪A₃={a₂}或A₂∪A₃=∅，
所以有1+3+3+9=16種；即f（3，2）=49．…（4分）
（2）猜想f（n，2）=（2ⁿ-1）²，n≥2，n∈N^*，用數學歸納法證明．
當n=2時，f（2，2）=9，結論成立．…（5分）
假設n=k時，結論成立，即f（k，2）=（2^k-1）²，
當n=k+1時，A₁∪A₂∪…∪A_k+1={a₁，a₂}
當A_k+1=∅時，A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₁，a₂}，所以有f（k，2）=（2^k-1）²種；
當A_k+1={a₁}時，A₁∪A₂∪…∪A_k={a₁，a₂}，所以有f（k，2）=（2^k-1）²種，
或A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₂}，所以有2^k-1種，共有2^k（2^k-1）種；
同理當A_k+1={a₂}時，共有2^k（2^k-1）種；
當A_k+1={a₁，a₂}時，A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₁，a₂}，所以有f（k，2）=（2^k-1）²種，
或A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₁}，所以有2^k-1種，或A₁∪A₂∪…∪A_k={a₂}，
所以有2^k-1種，或A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k=∅，所以有1種，共有2^2k種；
則f（k+1，2）=4（2^k-1）²+4（2^k-1）+1=（2^k+1-1）²，
所以，當n=k+1時，結論成立．…（9分）
所以f（n，2）=（2ⁿ-1）²，n≥2，n∈N^*．…（10分）

點評 本題考查函數值的求法，考查函數表達式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想和數學歸納法的合理運用．