Question

1．已知命題p：所有等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，命題q：有的等比數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比）．
（1）寫出￢p和￢q，并判斷真假．
（2）寫出p∧q、p∨q、（￢p）∧q、（￢q）∨p．并判斷真假．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)命題否定的定義，可寫出￢p和￢q，再由數(shù)列求和公式，得到真假；
（2）根據(jù)復合命題的定義，可寫出四個命題，根據(jù)復合命題真假判斷的真值表，可判斷四個命題的真假；

解答 解：命題p：所有等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$為真命題，
公比為1時，等比數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
故命題q：有的等比數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比）為真命題，
（1）￢p：有的等差數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，為假命題；
￢q所有等比數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），為假命題；
（2）p∧q：所有等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$且有的等比數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），為真命題．
p∨q：所有等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$或有的等比數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），為真命題．
（￢p）∧q：有的等差數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$且有的等比數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），為假命題．
（￢q）∨p：有的等差數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$或有的等比數(shù)列{a_n}的前n項和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），為真命題．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，數(shù)列的求和公式等知識點，難度中檔．