Question

已知函數f（x）=xe^x+ax²-x，a∈R
（1）當a=-

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時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若對x≥0時，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=-

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時，由f′（x）=（x+1）（e^x-1）＞0可求得函數f（x）的單調遞增區間，由f′（x）＜0可求得f（x）的單調遞減區間；
（2）設g（x）=f′（x）-f（x）-（4a+1）x，利用導數可求得g′（x）=e^x-2ax-2a，構造函數u（x）=g′（x），分2a≤1與2a＞1兩種情況討論，即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x+2ax-1，
當a=-

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時，f′（x）=（x+1）e^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
當x＞0或x＜-1時，f′（x）＞0；
當-1＜x＜0時，f′（x）＜0；
函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（0，+∞），單調遞減區間為（-1，0）．

（2）設g（x）=f′（x）-f（x）-（4a+1）x=e^x-ax²-2ax-1，
g′（x）=e^x-2ax-2a=u（x），
u′（x）=e^x-2a，
x≥0 時，e^x≥1．
①當2a≤1，即a≤

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時，令u′（x）≥0，
g′（x）=e^x-2ax-2a在[0，+∞）上是單調遞增的，g′（x）≥1-2a≥0，g（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以g（x）≥g（0）=0恒成立；
②當2a＞1即a＞

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 時，令u′（x）=0，則x=ln2a；
當x∈[0，ln2a]時，u′（x）＜0，g′（x）=e^x-2ax-2a在[0，ln2a）上是單調遞減，
所以g′（x）≤g′（0）=1-2a＜0，
所以g（x）在[0，ln2a]上單調遞減，
所以g（x）≤g（0）=0這與g（x）≥0恒成立矛盾．
綜上，a的取值范圍是（-∞，

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]．

點評：本題考查導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上的最值，考查分類討論思想與等價轉化思想，考查綜合運算、求解能力，是難題．