Question

設F₁，F₂，分別是橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的左右焦點，已知定點A（0，-1），B（0，3），C（3，3），以點C為焦點作過A，B兩點的橢圓．
（1）求另一焦點D的軌跡G的方程；
（2）過點A的直線l交曲線G于P，Q兩點，若

PA

=3

AQ

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓的定義可得另一焦點D的軌跡G的方程；
（2）直線l與曲線G聯立方程可得x₁，x₂，結合

PA

=3

AQ

，可求得斜率k，即可得直線l的方程．

解答： 解：（1）設另一焦點D（x，y），
有橢圓的定義可得：|AD|+|AC|=|BD|+|BC|，
即

x2+(y+1)2

+

32+42

=

x2+(y-3)2

+3，
即：x²-3y²+6y=0，
所以另一焦點D的軌跡G的方程是x²-3y²+6y=0，
（2）設直線方程為：y=kx-1①，
把①代入x²-3y²+6y=0得：（3k²-1）x²-12kx+9=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

x1+x2= 12k 3k2-1 x1x2= 9 3k2-1

，③
由于

PA

=3

AQ

，
∴（-x₁，-1-y₁）=3（x₂，y₂+1），
∴

-x1=3x2 -y1=3y2+4

，④，
把④代入③得(

6k

1-3k2

)2=

9

1-3k2

，
解得：k=±

7

7

，
直線l的方程：

7

x-7y-7=0或

7

x+7y+7=0．

點評：本題主要考察橢圓的定義，向量的應用，屬于中檔題．