Question

點(diǎn)P在圓x²+y²=4上運(yùn)動，作PD⊥x軸于D，延長DP至M，是

DP

=2

PM

，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意設(shè)出M，P，D的坐標(biāo)，由

DP

=2

PM

把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入圓的方程得答案．

解答： 解：如圖，設(shè)M（x₀，y₀），P（x₀，y₁），
則D（x₀，0），

DP

=(0，y1)，

PM

=(0，y0-y1)，
由

DP

=2

PM

，得（0，y₁）=2（0，y₀-y₁），
∴y₁=2y₀-2y₁，y1=

2

3

y0，
把P（x₀，y₁）代入x²+y²=4，得x02+

4

9

y02=4，
即

x02

4

+

y02

9

=1．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

9

=1．
為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了利用代入法求曲線的方程，是中檔題．