Question

設拋物線C：y²=4x的焦點為F，直線L過F且與C交于A、B兩點，若|AF|=3|BF|，則L的方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意設出直線AB的方程，聯立直線和拋物線方程，求出A，B的橫坐標，由|AF|=3|BF|得到x₁=3x₂+2，代入A，B的坐標得答案．

解答： 解：由y²=4x，得F（1，0），
設AB所在直線方程為y=k（x-1），
聯立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
結合|AF|=3|BF|，
解方程得：x1=

k2+2+2 k2+1

k2

，x2=

k2+2-2 k2+1

k2

．
再由|AF|=3|BF|，
得x₁+1=3（x₂+1），即
x₁=3x₂+2，
∴

k2+2+2 k2+1

k2

=

3k2+6-6 k2+1

k2

+2，
解得：k=±

3

．
∴直線L的方程為y=-

3

(x-1)或y=

3

(x-1)．
故答案為：y=-

3

(x-1)或y=

3

(x-1)．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了拋物線的定義，考查了學生的計算能力，是中檔題．