Question

已知定圓C₁：x²+y²+10x+24=0，C₂：x²+y²-10x+9=0，動圓C與定圓C₁，C₂都外切．求動圓圓心C的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：化圓的一般式方程為標準式，求出圓的圓心坐標和半徑，然后根據動圓C與定圓C₁，C₂都外切可得|CC₂|-|CC₁|=4-1=3，從而得到動圓的圓心軌跡為以C₁，C₂為焦點的雙曲線的左支，則答案可求．

解答： 解：由C₁：x²+y²+10x+24=0，得（x+5）²+y²=1，
∴圓C₁的圓心坐標為（-5，0），半徑為1，
由C₂：x²+y²-10x+9=0，得（x-5）²+y²=16，
∴圓C₂的圓心坐標為（5，0），半徑為4，
設動圓C的圓心坐標為（x，y），
由動圓C與定圓C₁，C₂都外切，得
|CC₂|-|CC₁|=4-1=3，
∴動圓圓心C的軌跡是以C₁，C₂為焦點的雙曲線的左支，
且2a=3，c=5，
∴b2=c2-a2=

91

4

．
∴動圓圓心C的軌跡方程為

4x2

9

-

4y2

91

=1(x＜0)．

點評：本題考查了雙曲線的定義，考查了圓與圓的位置關系，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．