Question

3．已知E（2，0），F(xiàn)（2，2）分別為正方形ABCD的邊AB與CD的中點(diǎn)．
（1）求正方形ABCD外接圓的方程；
（2）求對角線AC與BD所在直線的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)易得線段EF的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1）；
（1）根據(jù)正方形ABCD的性質(zhì)得到正方形ABCD外接圓的半徑，結(jié)合該外接圓的圓心是（2，1）書寫圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）需要分類討論：ABCD為逆時針排列和順時針排列兩種情況，由點(diǎn)斜式寫出直線方程．

解答 解：EF的中點(diǎn)為G（2，1），由平面幾何知識知AB在x軸上，
（1）外接圓的半徑為$AG=\sqrt{2}$，所以外接圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=2；
（2）①若ABCD為逆時針排列，則直線AC的斜率為1，
直線AC：y-1=x-2，即x-y-1=0．
直線BD的斜率為-1，
所以直線BD：y-1=-（x-2），即x+y-3=0；
②若ABCD為順時針排列，直線AC：x+y-3=0．
直線BD：x-y-1=0．

點(diǎn)評 本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的交點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．