Question

8．若函數f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}（{a∈R}）$，且在區間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值為$\frac{π-3}{2}$，則實數a的值為1．

Answer 1

分析 由題意，可借助導數研究函數f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調性，確定出最值，令最值等于 $\frac{π-3}{2}$，即可得到關于a的方程，由于a的符號對函數的最值有影響，故可以對a的取值范圍進行討論，分類求解．

解答 解：由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），
對于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，有sinx+xcosx＞0，當a=0時，f（x）=-$\frac{3}{2}$，不合題意；
當a＜0時，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＜0，從而f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]單調遞減，
又函數在上圖象是連續不斷的，故函數f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（0）=-$\frac{3}{2}$，不合題意；
當a＞0時，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，從而f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]單調遞增，
又函數在上圖象是連續不斷的，故函數f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$a-$\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，解得a=1，
故答案為：1．

點評 本題考察了利用導函數研究其單調性和函數的最值問題，需要分類討論．屬于中檔題．