Question

19．已知直線l₁：ax+4y-2=0直線l₂：2x+y+2=0，且兩條直線互相垂直．
（1）直線l₁與l₂的交點坐標；
（2）已知圓C：x²+y²+6x+8y+21=0，判斷直線l₁與圓C有無公共點，有幾個公共點．

Answer 1

分析 （1）由l₁⊥l₂得，2a+4=0，解得a后代入聯立直線方程，可得直線l₁與l₂的交點坐標；
（2）已知圓C：x²+y²+6x+8y+21=0，圓心坐標是（-3，-4），半徑r=2，求出圓心到直線的距離，可得直線與圓的關系，進而可得公共點個數．

解答 解：（1）由l₁⊥l₂得，2a+4=0，a=-2，
即l₁：x-2y+1=0，
聯立兩條直線的方程，得到方程組$\left\{\begin{array}{l}2x+y+2=0\\ x-2y+1=0\end{array}\right.$，
解方程組得，x=-1，y=0，
所以，兩條垂直直線的交點坐標為（-1，0）．
（2）圓C的圓心坐標是（-3，-4），半徑r=2，圓心到直線l₁：x-2y+1=0的距離$d=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，∴d＞r，所以直線l₁與圓C相離，沒有公共點．

點評 本題考查的知識點是直線的交點，直線垂直，直線與圓的位置關系，難度中檔．