Question

11．已知y=f（x）的定義域為R的偶函數，當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}sin\frac{π}{4}x，0≤x≤2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+1，x＞2}\end{array}\right.$，若關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a，b∈R）有且僅有6個不同的實數根，在實數a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性作出函數f（x）的圖象，利用換元法判斷函數t=f（x）的根的個數，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：作出函數f（x）的圖象如圖：
則f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，
當x=±2時，函數取得極大值f（2）=$\frac{5}{4}$；
當x=0時，取得極小值0．

要使關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個不同實數根，
設t=f（x），則當t＜0，方程t=f（x），有0個根，
當t=0，方程t=f（x），有1個根，
當0＜t≤1或t=$\frac{5}{4}$，方程t=f（x），有2個根，
當1＜t＜$\frac{5}{4}$，方程t=f（x），有4個根，
當t＞$\frac{5}{4}$，方程t=f（x），有0個根．
則t²+at+b=0必有兩個根t₁、t₂，
則有兩種情況符合題意：
①t₁=$\frac{5}{4}$，且t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），
此時-a=t₁+t₂，
則a∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
②t₁∈（0，1]，t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），
此時同理可得a∈（-$\frac{9}{4}$，-1），
綜上可得a的范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1），
故答案為（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

點評 本題主要考查分段函數的應用，利用換元法結合函數奇偶性的對稱性，利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強．