Question

2．數列{a_n}滿足：a₁=$\frac{4}{3}$，且a_n+1=$\frac{4（n+1）{a}_{n}}{3{a}_{n}+n}$，（n∈N⁺），則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$=$2015\frac{2}{3}+\frac{1}{3•{4}^{2016}}$．

Answer 1

分析 由已知數列遞推式可得$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{4}（\frac{n}{{a}_{n}}-1）$，即數列{$\frac{n}{{a}_{n}}-1$}是以-$\frac{1}{4}$為首項，以$\frac{1}{4}$為公比的等比數列，求出等比數列的通項公式，作和即可求得$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$．

解答 解：由a_n+1=$\frac{4（n+1）{a}_{n}}{3{a}_{n}+n}$，得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{4{a}_{n}}{3{a}_{n}+n}$，
∴$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{4}•\frac{n}{{a}_{n}}+\frac{3}{4}$，則$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{4}（\frac{n}{{a}_{n}}-1）$，
又$\frac{1}{{a}_{1}}-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}$．
∴數列{$\frac{n}{{a}_{n}}-1$}是以-$\frac{1}{4}$為首項，以$\frac{1}{4}$為公比的等比數列，
則$\frac{n}{{a}_{n}}-1=-\frac{1}{4}•（\frac{1}{4}）^{n-1}$，$\frac{n}{{a}_{n}}=1-\frac{1}{{4}^{n}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$=$1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{{4}^{2}}+…+1-\frac{1}{{4}^{2016}}$
=2016-（$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{2016}}$）=$2016-\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{2016}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$2015\frac{2}{3}+\frac{1}{3•{4}^{2016}}$．
故答案為：$2015\frac{2}{3}+\frac{1}{3•{4}^{2016}}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，考查等比數列前n項和的求法，是中檔題．