Question

1．已知函數f（x）=x（x-a）（x-b）．
（1）若a=0，b=3，求y=f（x）的切線中與y軸垂直的切線方程．
（2）若a=0，b=3，函數f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（3）當a=0時，$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=0，b=3，求導數，令f′（x）=得x=0或2，即可求y=f（x）的切線中與y軸垂直的切線方程．
（2）得出函數f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．函數f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，則只要t＜0且t+3＞2即可；
（3）問題轉化為b≤x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$在對任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立．令g（x）=x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$．求出函數的最小值，即可得出結論．

解答 解：（1）當a=0，b=3時，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=得x=0或2，∴y=0或-4；
（2）當a=0，b=3時，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令令f′（x）=得x=0或2，根據導數的符號可以得出函數f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．
函數f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，則只要t＜0且t+3＞2即可，
即只要-1＜t＜0即可．
所以t的取值范圍是（-1，0）．
（3）當a=0時，$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
即x²-bx+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
也即b≤x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$在對任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立．
令g（x）=x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$．
記m（x）=x²-lnx，則m′（x）=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
則這個函數在其定義域內有唯一的極小值點x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故也是最小值點，
所以m（x）≥$\frac{1}{2}-ln\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，從而g′（x）＞0，
所以函數g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）單調遞增．函數g（x）_min=$\frac{5}{2}$-2ln2．
故只要b≤$\frac{5}{2}$-2ln2即可．所以b的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$-2ln2]．  （8分）

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義、極值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．