Question

18．函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{x+3}}，x＜0\\ \sqrt{-{x^2}+2x}，0≤x≤2\end{array}\right.$若g（x）=f（x）-kx-2k恰有兩個兩點，則實數k的取值范圍為$（{e^2}，\frac{e^3}{2}）∪[0，\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$．

Answer 1

分析 由題意可得，f（x）=k（x+2）有兩個不等的實根，作出y=f（x）的圖象和直線y=k（x+2），通過圖象觀察它們有兩個交點的情況，注意運用導數求切線的斜率和直線和圓相切的條件：d=r

解答 解：函數g（x）=f（x）-kx-2k恰有兩個零點，
即為f（x）=k（x+2）有兩個不等的實根，如圖：
當x＜0時，直線和曲線相切，設切點為（m，km+2k），
f′（x）=e^x+3，f′（m）=e^m+3，
由e^m+3=km+2k，k，k≠0，解得k=e²，m=-1，
k＜$\frac{{e}^{3}}{2}$，
當直線經過點（0，e³），k=$\frac{{e}^{-3}}{2}$時，直線和曲線有兩個交點，
當直線kx-y+2k=0和半圓相切，d=r=1，圓心為（1，0），
由$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（負的舍去），
由圖象可得，0≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$時，直線和半圓有兩個交點．
則有k的取值范圍是：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪[e²，$\frac{{e}^{3}}{2}$）．
故答案為：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪[e²，$\frac{{e}^{3}}{2}$）．

點評 本題考查函數的零點的求法，主要考查函數和方程的轉化思想，運用數形結合的思想方法是解題的關鍵．