Question

10．某學校用“10分制”調查本校學生對教師教學的滿意度，現從學生中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們對該校教師教學滿意度的分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）：
（Ⅰ）若教學滿意度不低于9.5分，則稱該生對教師的教學滿意度為“極滿意”．求從這16人中隨機選取3人，至少有1人是“極滿意”的概率；
（Ⅱ）以這16人的樣本數據來估計整個學校的總體數據，若從該校所有學生中（學生人數很多）任選3人，記X表示抽到“極滿意”的人數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設A_i表示所取得人中有i個人是“極滿意”，至少有一人是“極滿意”記為事件A，利用古典概率計算公式與相互對立事件的概率計算公式即可得出．
（II）X的可能取值為0，1，2，3，由已知得$X-B（{3，\frac{1}{4}}）$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設A_i表示所取得人中有i個人是“極滿意”，至少有一人是“極滿意”記為事件A，
則$P（A）=1-P（{A_0}）=1-\frac{{C_{12}^3}}{{C_{16}^3}}=\frac{17}{28}$．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，由已知得$X-B（{3，\frac{1}{4}}）$．
∴$P（{X=0}）={（{\frac{3}{4}}）^3}=\frac{27}{64}$，$P（{X=1}）=C_3^1（{\frac{1}{4}}）×{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{27}{64}$，$P（{X=2}）=C_3^2{（{\frac{1}{4}}）^2}×（{\frac{3}{4}}）=\frac{9}{64}$，$P（{X=3}）={（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{1}{64}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴$EX=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了古典概率計算公式與相互對立事件的概率計算公式、二項分布列的計算公式與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．