Question

已知函數f（x）=|x-a|．
（1）若a=1時，解不等式f（x）+f（x-1）≤4；
（2）若不等式f（x）-x＞3-2a²對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）a=1時，利用絕對值的幾何意義解不等式|x-1|+|x-2|≤4即可；
（2）令g（x）=|x-a|-x，依題意，得3-2a²＜g（x）_min，通過對x≥a與x＜a的分類討論，可求得g（x）_min=-a，于是解不等式2a²-a-3＞0即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=1時，由f（x）+f（x-1）≤4得：|x-1|+|x-2|≤4，
∵數軸上-0.5與3.5對應的點到1與2對應的點的距離均為4，
∴-

1

2

≤x≤

7

2

，即原不等式的解集為{x|-

1

2

≤x≤

7

2

}；
（2）∵|x-a|-x＞3-2a²對x∈R恒成立，令g（x）=|x-a|-x，
則3-2a²＜g（x）_min，
當x≥a時，g（x）=x-a-x=-a，
當x＜a時，g（x）=a-2x＞-a，
綜上述，g（x）_min=-a，
∴3-2a²＜-a，即2a²-a-3＞0，解得：a＜-1或a＞

3

2

．
實數a的取值范圍為（-∞，-1）∪（

3

2

，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查絕對值不等式的幾何意義，突出考查函數恒成立問題，將（2）轉化為3-2a²＜g（x）_min是關鍵，考查轉化思想、分類討論思想與運算求解能力．