Question

設函數f（e^x）=ex，g（x）=

1

e

f（x）-（x+1）（e=2.718…）
（1）求函數g（x）的極大值；
（2）令F（x）=

x2

2

-f（x），求函數y=F（x）的單調區間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數f（x）的解析式，再求g（x）的導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，進而得到極大值；
（2）求出F（x）的導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，注意定義域．

解答： 解：（1）函數f（e^x）=ex，即有f（x）=elnx，
則g（x）=lnx-x-1（x＞0），
g′（x）=

1

x

-1，當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
則有x=1處g（x）取得極大值，且為-2；
（2）F（x）=

x2

2

-elnx，F′（x）=x-

e

x

，
令F′（x）＞0，解得，x＞

e

，令F′（x）＜0，解得，0＜x＜

e

．
則F（x）的增區間為（

e

，+∞），減區間為（0，

e

）．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和求極值，考查運算能力，屬于基礎題．