Question

12．數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n+1=3S_n+n+1，n∈N*，則{a_n}的通項公式a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

Answer 1

分析 在已知數列遞推式中以n換n-1得另一遞推式，兩式作差可得a_n+1=3a_n+1（n≥2），構造等比數列數列{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}，求出等比數列的通項公式，則{a_n}的通項公式a_n可求．

解答 解：∵S_n+1=3S_n+n+1，①
∴S_n=3S_n-1+n（n≥2），②
①-②得a_n+1=3a_n+1（n≥2），
∴${a}_{n+1}+\frac{1}{2}=3（{a}_{n}+\frac{1}{2}）$（n≥2），
又a₁=1，S_n+1=3S_n+n+1，得a₂=4，
${a}_{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，${a}_{2}+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$，滿足$\frac{{a}_{2}+\frac{1}{2}}{{a}_{1}+\frac{1}{2}}=3$．
∴數列{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$為首項，以3為公比的等比數列，
則${a}_{n}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，考查等比數列的通項公式，是中檔題．