Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（a+c）（sinA-sinC）=（b+c）sinB．
（1）求A角的大小；
（2）若a=3，S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，整理可得b²+c²-a²=-bc，利用余弦定理可求cosA=-$\frac{1}{2}$，結合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．
（2）由已知利用三角形面積公式可求bc=3，結合a=3，b²+c²-a²=-bc，即可解得b，c的值．

解答 解：（1）由（a+c）（sinA-sinC）=（b+c）sinB及正弦定理得（a+c）（a-c）=b（b+c），
∴b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，即$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴bc=3，①
又a=3，b²+c²-a²=-bc，
∴b²+c²=6，②
又①②得b=c=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．