Question

14．已知等差數列{a_n}的首項和公差都為2，且a₁、a₈分別為等比數列{b_n}的第一、第四項．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{4}{{（{{log}_2}{b_{n+1}}）{a_n}}}$，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數列通項公式可知：a_n=2+（n-1）2=2n，分別求得a₁和a₈，則由等比數列性質可知：${q^3}=\frac{b_4}{b_1}=8$，根據等比數列通項公式求得{b_n}的通項公式；
（2）由（1）${c_n}=\frac{4}{{（{{log}_2}{b_{n+1}}）{a_n}}}=\frac{2}{n•（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，采用“裂項法”即可求得數列{c_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）由等差數列通項公式可知：a_n=2+（n-1）2=2n，
當n=1時，2b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，…3
設等比數列{b_n}的公比為q，則${q^3}=\frac{b_4}{b_1}=8$，…4
∴q=2，…5
∴${b_n}={2^n}$      …6
（2）由（1）可知：log₂b_n+1=n…7
∴${c_n}=\frac{4}{{（{{log}_2}{b_{n+1}}）{a_n}}}=\frac{2}{n•（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$…9
∴${S_n}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$，
∴{c_n}的前n項和S_n，S_n=$\frac{2n}{n+1}$．…12

點評 本題考查等比數列及等差數列通項公式，等比數列性質，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．