Question

3．已知函數f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在區間（0，e]上的最大值為-3，求m的值；
（3）若x≥1時，有不等式f（x）≥$\frac{k}{x+1}$恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，函數的導數，求出極值點，判斷導函數符號，然后求解單調區間．
（2）求出$g'（x）=m+\frac{1}{x}$，x∈（0，e]，通過①若m≥0，②若m＜0，判斷函數的單調性，求解函數的最值，然后求m．
（3）利用x≥1時，$f（x）≥\frac{k}{x+1}$恒成立，分離變量，構造函數$h（x）=lnx+\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}+1$，利用函數的導數，求解函數的最值，推出結果即可．

解答 解：（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，令f'（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．
（2）∵g（x）=1+lnx+mx，$g'（x）=m+\frac{1}{x}$，x∈（0，e]，
①若m≥0，則g'（x）≥0，從而g（x）在（0，e]上是增函數，∴g（x）_max=g（e）=me+2≥0，不合題意．
②若m＜0，則由g'（x）＞0，即$0＜x＜-\frac{1}{m}$，若$-\frac{1}{m}≥e$，g（x）在（0，e]上是增函數，
由①知不合題意．
由g'（x）＜0，即$-\frac{1}{m}＜x≤e$．
從而g（x）在$（0，-\frac{1}{m}）$上是增函數，在$（-\frac{1}{m}，e]$為減函數，
∴$g{（x）_{max}}=g（-\frac{1}{m}）=ln（-\frac{1}{m}）$，令ln（$-\frac{1}{m}$）=-3，所以m=-e³，
∵$-\frac{1}{m}=\frac{1}{e^3}＜e$，∴所求的m=-e³．
（3）∵x≥1時，$f（x）≥\frac{k}{x+1}$恒成立，∴k≤（x+1）f（x）=lnx+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$+1，
令$h（x）=lnx+\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}+1$，
∴$h'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）為增函數，
∴h（x）_min=h（1）=2，∴k≤2．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的最值以及函數的單調性的判斷，構造法的應用，考查轉化思想以及分類討論思想的應用．