Question

13．已知函數f（x）=log_a（x+2）+log_a（3-x），其中0＜a＜1．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的最小值為-4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意，寫出函數f（x）有意義的不等式組求解．
（2）將函數化簡，轉化為二次i函數，利于二次函數的性質求解．

解答 解：（1）要使函數f（x）有意義，則有$\left\{\begin{array}{l}x+2＞0\\ 3-x＞0\end{array}\right.$，
解得：-2＜x＜3，
所以：函數的定義域為（-2，3）．
（2）函數可化為f（x）=log_a（x+2）+log_a（3-x）
=log_a[（x+2）（3-x）]=${log_a}（-{x^2}+x+6）={log_a}[-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{25}{4}]$，
∵-2＜x＜3，
∴$0＜-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{25}{4}≤\frac{25}{4}$
又∵0＜a＜1，
∴$log{\;}_a[-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{25}{4}]≥{log_a}\frac{25}{4}$，
即$f{（x）_{min}}={log_a}\frac{25}{4}$，
由${log_a}\frac{25}{4}=-4$，即：${a^{-4}}=\frac{25}{4}$，
解得：$a=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
故得函數f（x）的最小值為-4，a的值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了對數函數的定義域求法和化簡計算問題，復合函數的最值問題．屬于中檔題．