Question

10．已知函數f（x）=e^x-ax-1．
（1）判斷函數f（x）的單調性；
（2）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，當x∈（0，+∞）時，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用導數判斷函數單調性、函數不等式．

解答 （本小題滿分12分）解：（1）f（x）=e^x-ax-1，f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調遞增；-----------（2分）
當a＞0時，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，則在（-∞，lna]上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增．-----------（4分）
（2）不妨先證明0＜g（x）＜x （x＞0），即0＜ln（e^x-1）-lnx＜x，
先證   ln（e^x-1）-lnx＞0，即e^x＞x+1，顯然成立．------------（6分）
再證 ln（e^x-1）-lnx＜x，只需證，e^x-1＜xe^x
設h（x）=xe^x-e^x+1，
則h′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe＞0，
即h（x）＞h（0）=0，0＜g（x）＜x得證．-----------（8分）
由當a≤0時，則f（x）在R上單調遞增，可知，f（g（x））＜f（x），
當0＜a≤1時，lna≤0，又f（x）在（lna，+∞）上單調遞增，f（g（x））＜f（x）
當a＞1時，f（x）在（0，lna）上單調遞減，f（g（x））＞f（x）與條件不符．
綜上a≤1．------------（12分）

點評 本題考查了（1）含參數函數單調性問題，（2）用了分析法處理函數不等式問題．