Question

19．已知直線${l_1}：ax-2y=2a-4，{l_2}：2x+{a^2}y=2{a^2}+4（{0＜a＜2}）$與兩坐標軸的正半軸圍成四邊形，當a為何值時，圍成的四邊形面積最小，并求最小值．

Answer 1

分析 求出其交點坐標．由l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，設l₁與y軸交于點A，l₂與x軸交于點B．則A（0，2-a），B（a²+2），求出A，B到OM的距離，可得結論．

解答 解：由直線方程可知，l₁和l₂均過定點 M（2，2）…3
設l₁與y軸交于點A，l₂與x軸交于點B．則A（0，2-a），B（a²+2），….5
四邊形OAMB的面積等于三角形AOM和三角形BOM的面積之和.$|{OM}|=2\sqrt{2}$，直線OM的方程是x-y=0．
A，B到OM的距離是d₁，d₂，則${d_1}=\frac{{|{-2+a}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{2-a}{{\sqrt{2}}}，{d_2}=\frac{{|{{a^2}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{a^2}+2}}{{\sqrt{2}}}$，….8
$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（{{d_1}+{d_2}}）={a^2}-a+4\\={（{a-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{15}{4}\end{array}$…10
所以當$a=\frac{1}{2}$時，面積最小，最小值為$\frac{15}{4}$…12

點評 本題考查兩直線的交點坐標的求法和四邊形面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意配方法的合理運用．