Question

16．設F為拋物線C：y²=4x的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據拋物線的方程求得焦點坐標，根據直線的傾斜角求得直線方程，代入拋物線方程，利用韋達定理求得x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，由拋物線的性質可知丨AB丨=p+x₁+x₂=$\frac{16}{3}$，利用點到直線的距離公式求得O到直線y=$\sqrt{3}$（x-1）的距離d，根據三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d，即可求得則△OAB的面積．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點（1，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴F且傾斜角為60°的直線y=$\sqrt{3}$（x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10x+2=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，
由拋物線的性質可知：丨AB丨=p+x₁+x₂=$\frac{16}{3}$，
點O到直線y=$\sqrt{3}$（x-1）的距離d，d=$\frac{丨\sqrt{3}丨}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴則△OAB的面積S，S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{16}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，點到直線的距離公式及三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．