Question

6．某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：

單價x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

（I）求回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$；
（II）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（I）中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）
（Ⅲ）銷量與單價仍然服從（I）中的關系，選取表格前三組數據，計算殘差平方和．
（殘差平方和計算公式$\sum_{i=1}^{n}$（y_i-$\stackrel{∧}{y}$_i）²．

Answer 1

分析 （I）計算平均數，利用b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$，即可求得回歸直線方程；
（II）設工廠獲得的利潤為L元，利用利潤=銷售收入-成本，建立函數，利用配方法可求工廠獲得的利潤最大；
（Ⅲ）當x=8時，e₁=0；當x=8.2時，e₂=-2；當x=8.4時，e₃=0，可得殘差平方和．

解答 解：（I）$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，
∵b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$，
∴a=80+20×8.5=250
∴回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
（II）設工廠獲得的利潤為L元，則L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-$20（x-\frac{33}{4}）^{2}+361.25$
∴該產品的單價應定為$\frac{33}{4}$元，工廠獲得的利潤最大．
（Ⅲ）當x=8時，e₁=0；當x=8.2時，e₂=-2；當x=8.4時，e₃=0；
∴殘差平方和為4．

點評 本題主要考查回歸分析，考查二次函數，考查運算能力、應用意識，屬于中檔題．