Question

1．在本次模擬考試的數學試卷中共有12道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的，得分標準規定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”，某考生每道題都給出一個答案，該考生已確定有9道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜．
（1）求該考生選擇題得60分的概率；
（2）該考生的數學成績在班內為中等水平，可用該考生的數學選擇題的得分作為班級數學選擇題的平
均得分，試求班級數學選擇題得分的均分．

Answer 1

分析 （1）該考生選擇題得60分，12道題必須全做對，在其余的3道題中，有一道題答對的概率為$\frac{1}{2}$，有一道題答對的概率為$\frac{1}{3}$，有一道題答對的概率為$\frac{1}{4}$，由此能求出該考生選擇題得60分的概率．
（2）依題意，該考生得分X的可能取值為45，50，55，60，分別求出相應的概率，從而求出均數，由此能求出班級數學選擇題得分的均分．

解答 解：（1）該考生選擇題得60分，12道題必須全做對，
在其余的3道題中，有一道題答對的概率為$\frac{1}{2}$，有一道題答對的概率為$\frac{1}{3}$，有一道題答對的概率為$\frac{1}{4}$，
∴該考生選擇題得60分的概率為：$p=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$．
（2）依題意，該考生得分X的可能取值為45，50，55，60，
P（X=45）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=50）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{11}{24}$，
P（X=60）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
P（X=55）=1-$\frac{1}{4}-\frac{11}{24}-\frac{1}{24}$=$\frac{6}{24}$，
∴X的分布列為：

X	45	50	55	60
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{1}{24}$

EX=$45×\frac{1}{4}+50×\frac{11}{24}+55×\frac{6}{24}+60×\frac{1}{24}$=$\frac{605}{12}$，
∵可用該考生的數學選擇題的得分作為班級數學選擇題的平均得分，
∴班級數學選擇題得分的均分為$\frac{605}{12}$分．

點評 本題考查概率的求法，考查班級均分的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意離散型隨機變量的分布列和數學期望的合理運用．