Question

已知點A（-2，0，2）、B（-1，1，2）、C（-3，0，4），

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（1）若|

c

|=3，且

c

∥

BC

，求

c

；
（2）求cos＜

a

，

b

＞；
（3）若k

a

+

b

與k

a

-2

b

垂直，求k．

Answer 1

考點：向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直,空間向量的夾角與距離求解公式

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知

BC

=（-2，-1，2），設(shè)

c

=（-2λ，-λ，2λ），則（-2λ）²+（-λ）²+（2λ）²=9，由此能求出

c

=（-2，-2，2）或

c

=（2，2，-2）．
（2）由已知得

a

=（1，1，0），

b

=（-1，0，2），由此能求出cos＜

a

，

b

＞．
（3）由已知得（k

a

+

b

）•（k

a

-2

b

）=（k-1）（k+2）+k²-8=0，從而求出k=-

5

2

或k=2．

解答： 解：（1）∵B（-1，1，2）、C（-3，0，4），
∴

BC

=（-2，-1，2），
∵|

c

|=3，且

c

∥

BC

，
∴設(shè)

c

=（-2λ，-λ，2λ），且（-2λ）²+（-λ）²+（2λ）²=9，
解得λ=±1，
∴

c

=（-2，-2，2）或

c

=（2，2，-2）．
（2）∵A（-2，0，2）、B（-1，1，2）、C（-3，0，4），

a

=

AB

，

b

=

AC

．
∴

a

=（1，1，0），

b

=（-1，0，2），
∴cos＜

a

，

b

＞=

-1

2 × 5

=-

10

10

．
（3）∵k

a

+

b

=（k-1，k，2），k

a

-2

b

=（k+2，k，-4），
k

a

+

b

與k

a

-2

b

垂直，
∴（k

a

+

b

）•（k

a

-2

b

）=（k-1）（k+2）+k²-8=0，
解得k=-

5

2

或k=2．

點評：本題考查平面向量的求法和運算，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運用．