Question

已知函數f（x）=2cos（2x-

π

3

）-3，
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）最大值及取得最大值時x的集合；
（3）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據函數y=Acos（ωx+φ）的周期性為

2π

ω

，可得結論．
（2）由條件根據余弦函數的值域求得函數f（x）最大值及取得最大值時x的集合．
（3）令2kπ-π≤2x-

π

3

≤2kπ+0，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．

解答： 解：（1）由函數f（x）=2cos（2x-

π

3

）-3，可得函數的周期為

2π

2

=π．
（2）函數的最大值為2-3=-1，此時，2x-

π

3

=2kπ，k∈z，
即x=kπ+

π

6

，k∈z．
故函數f（x）最大值為-1，取得最大值時x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}．
（3）令2kπ-π≤2x-

π

3

≤2kπ+0，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
可得函數的減區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．

點評：本題主要考查函數y=Acos（ωx+φ）的周期性，最值、以及單調性，屬于基礎題．