Question

已知函數f（x）=（x²+bx+b）e^x的極值點為x=-

2

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和x=1．
（1）當b=1時，求函數f（x）的增區間；
（2）當0＜b≤2時，求函數f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）把b=1代入函數解析式，求出其導函數，由導函數的符號判斷原函數的單調性；
（2）求出函數f（x）的導函數，得到其零點，然后討論零點與所給區間端點值的大小關系得到函數在所給區間上的單調性，并求得最值．

解答： 解：（1）當b=1時，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．
故函數f（x）的增區間為（-∞，-2），（-1，+∞）；
（2）∵f（x）=（x²+bx+b）e^x，
∴f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
當-2≤-2b，即0＜b≤1時，函數f（x）在（-2b，-b）上單調遞減，在（-b，b）上單調遞增．
∴M=max{f（-2b），f（b）}，
∵f（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
∴M=f（b）．
當-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2時，函數f（x）在（-2b，-2）上單調遞增，在（-2，-b）上單調遞減，在（-b，b）上單調遞增．
∴M=max{f（-2），f（b）}，
∵f（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b2+2b-4=2(b+

1

2

)2-

9

2

＞2×12+2×1-4=0，
∴M=f（b）．
當-2=-b，即b=2時，f′（x）≥0，函數f（x）在（-2b，b）上單調遞增，
∴M=f（b）．
綜上所述：M=f（b）=（2b²+b）e^b．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數研究函數的最值，考查了分類討論的數學思想方法及數學在轉化思想方法，是壓軸題．