Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值為-7，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由數(shù)量積的運(yùn)算和模長的計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)運(yùn)算可得；
（2）由（1）可知f（x）=2（cosx-λ）²-2λ²-1，由x∈[0，

π

2

]可得cosx∈[0，1]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值分類討論可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
∴

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos（

3x

2

+

x

2

）=cos2x，
∴|

a

+

b

|²=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=cos²

3x

2

+sin²

3x

2

+cos²

x

2

+sin²

x

2

+2cos2x
=2+2cos2x=4cos²x，又x∈[0，

π

2

]，∴|

a

+

b

|=2cosx；
（2）由（1）可知f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx
=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]，
當(dāng)λ≤0時，由二次函數(shù)可知cosx=0時f（x）取最小值-1，這與最小值為-7矛盾；
當(dāng)λ≥1時，由二次函數(shù)可知cosx=1時f（x）取最小值1-4λ=-7，解得λ=2，符合題意；
當(dāng)0＜λ＜1時，由二次函數(shù)可知cosx=λ時f（x）取最小值-2λ²-1=-7，解得λ=±

3

，這與0＜λ＜1矛盾；
綜上可知實(shí)數(shù)λ的值為2

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及向量的運(yùn)算和二次函數(shù)區(qū)間的最值以及分類討論的思想，屬中檔題．